Для участия в областных и районных математических олимпиадах отбираются лучшие учащиеся школ.
Но как бывает горько видеть, что многие из них даже не знают, как подступиться к решению той или иной задачи. Как правило, это следствие неумения самостоятельно мыслить, рассуждать, выдвигать и проверять гипотезы. Разочарование, неверие в свои силы испытывают в таком случае ученики.

В связи с этим актуальна задача организации уроков творчества, когда каждый ученик работает самостоятельно и при этом постоянно видит свои ошибки, анализирует, исправляет их, намечает пути своей дальнейшей деятельности. По замыслу авторов таким требованиям вполне удовлетворяет урок-олимпиада.

Урок-олимпиада ( двухчасовой ) был подготовлен учителем школы N 22 г. Ярославля Комаровой Р.И. совместно с доцентом кафедры общей математики Ярославского государственного университета Медведевой Л.Б. и доцентом кафедры геометрии Ярославского государственного педагогического института Агафоновой Т.Л. и проведен в 9 классе ( классе с углубленным изучением математики ). Время проведения урока совпало с изучением темы "Гомотетия". Поэтому олимпиада должна была стать завершающим этапом изучения темы, итогом проверки приобретенных знаний .

Класс был предупрежден о предстоящей олимпиаде заранее, что значительно повлияло на отношение детей к урокам, породило у них стремление овладеть материалом более широко, побудило читать не только учебник, но и дополнительную литературу ( журналы "Квант", "Математика в школе").

Уроку-олимпиаде предшествовали зачет и домашняя олимпиада. Зачет проводился в виде собеседования по билетам. Билет содержал один теоретический вопрос и три задачи, например:

1. Докажите, что при гомотетии образом вектора является коллинеарный ему вектор.

2. Сколько центров гомотетии имеют:

а) два угла с сонаправленными сторонами,

б) два угла с противоположно направленными сторонами ?

>Каковы коэффициенты гомотетий в обоих случаях ?

3. Всегда ли гомотетичны два параллелограмма с соответственно параллельными сторонами?

4. Даны две окружности и точка М. Постройте на окружностях соответственно точки А и В так, чтобы точка М лежала на отрезке АВ и делила его в отношении 2:3, считая от точки А.

В домашнюю олимпиаду были включены следующие задачи:

1. Постройте различными способами фигуру, гомотетичную данному квадрату ABCD относительно

2. На основаниях BC и AD трапеции ABCD построены равносторонние треугольники BCE и ADF. Докажите, что прямая, соединяющая центры этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

3. Дан параллелограмм ABCD. Точки E и F - середины его сторон DC и AB. Докажите, что диагональ BD делится отрезками AE и CF на три равные части.

4. Докажите, что

1) в треугольнике ABC центр O описанной окружности, центроид G и ортоцентр H принадлежат одной прямой ( прямой Эйлера );

2) точка G делит отрезок OH в отношении 1:2;

3) середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, принадлежат одной окружности ( окружности Эйлера ).
Оценка за выполнение домашней олимпиады входила в общее число заработанных на уроке-олимпиаде баллов.

Перейдем к описанию хода и организации самого урока-олимпиады.

Все задания, предусмотренные cоревнованием, были заранее подготовлены на доске, скрытой от учащихся. Каждый учащийся получил свой нагрудный номер, что значительно облегчило работу жюри. По ходу урока каждому учащемуся выдавался отдельный лист с условием задачи, на котором он должен был выполнить решение. На листе было указано также количество баллов, которым оценивалась задача и время, отводимое на ее решение. По звонку решения собирались и передавались жюри. Пока жюри их оценивало, учитель проводил с учащимися разбор выполненного задания. Таким образом, учащиеся сразу могли видеть свои ошибки и оценить свою работу.

Прежде чем сформулировать задания олимпиады, заметим, что на рисунках 1 - 4 чертежи представлены с дополнительными построениями ( тонкие линии ), возникшими на уроке во время обсуждения решений с учащимися.

Задание 1. ( 5 баллов ) Гомотетичны ли два данных отрезка AB и CD или нет ? ( рис.1)
Если гомотетичны, то постройте их центр гомотетии.

Как видим, задача содержит в себе пять маленьких подзадач, расположенных      с нарастающей сложностью их решения и позволяет вспомнить определение      гомотетии и ее основные свойства.

Задание 2. ( З балла ) Найдите и выпишите все пары гомотетичных треугольников. ( рис.2)
н Назовите их центры и коэффициенты гомотетии.

Ответ        1. HA1/2:ABC ->AMP ,    2. HB1/2:ABC ->MBN ,    3. HC1/2:ABC ->PNC ,    4. HS1-1:MNP ->PAM ,    5. HS2-1:MNP ->NMB ,    6. HS3-1:MNP ->CPN ,    7. HG-2:MNP ->CAB.

Данная задача была включена в олимпиаду с целью облегчить восприятие задачи Эйлера в дальнейшем.

Задание 3. ( 5 баллов ) Определите, гомотетичны данные фигуры или нет ( рис.3 ).
Если гомотетичны, то постройте на Вашей заготовке их центр гомотетии.

Это задание еще раз заставляет учащихся вспомнить свойства гомотетии, в частности, решить вопрос о гомотетичности окружностей. Следует отметить, что построение центра гомотетии во второй задаче было выполнено разными способами. При обсуждении решений учащиеся доказали, что касательная к окружности при гомотетии переходит в касательную к ее образу. Задача 4 данного задания, несмотря на то, что вообще редко рассматривается в школе, не вызвала у учащихся никаких затруднений, задача 5 привела некоторых учеников к ошибочному ответу.

Далее в работе наступила небольшая разрядка: учитель подвел итоги домашней олимпиады и предоставил слово ученику - победителю, который рассказал решение самой трудной задачи - задачи Эйлера. Класс услышал образец правильной, стройной математической речи.

Задание 4. ( 3 балла ) ( Выполняется инструментами на чертежном листе бумаги по вариантам ).

Вариант 1. В данный треугольник впишите прямоугольник, стороны которого относятся как 5:3; две вершины его лежат на данной стороне, а две другие соответственно на двух других сторонах.

Вариант 2. Постройте треугольник по данному углу, отношению сторон, образующих этот угол (5:3) и данной биссектрисе этого угла.

Следует заметить, что с первой задачей справились все учащиеся, при решении второй многие допустили ошибки.

Задание 5. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A. ( рис.4 ).
К меньшей из них в произвольной ее точке P проведена касательная, которая пересекает большую окружность в точках M и N. Докажите, что биссектриса угла MAN есть AP .

Учитель и учащиеся одновременно делают чертеж и кратко записывают      условие задачи, совместно находят решение. Эта задача позволяет связать      знания учащихся по теме " Гомотетия " с другими темами геометрии.      Учащиеся, наиболее активно принимавшие участие в ее разборе,      получают поощрительные баллы.

Заканчивается урок вручением дипломов I, II, III степени победителям. Объявляются оценки за работу на уроке каждому ученику. Оценку "5" получили те учащиеся, которые набрали не менее 12 баллов и при этом выполнили задание 4; неудовлетворительных оценок не было. Всего трое учащихся получили оценку "З". И что наиболее важно, каждый получил огромное удовлетворение от урока.

На наш взгляд, успех олимпиады явился прежде всего результатом тщательной проработки темы с учащимися.

Основным пособием был учебник А.Н.Колмогорова, А.Ф. Семеновича, Р.С.Черкасова

" Геометрия 6-8 ", 1979 г..

А теперь предлагаем план изучения темы.

1. Понятие подобия. Подобные фигуры. Гомотетия - частный случай подобия. Построение гомотетичных